1차 미분방정식 예제

Bernoulli 미분 방정식 – 이 섹션에서는 Bernoulli 미분 방정식, 즉 형식의 미분 방정식을 (y` + p(t) y = y^{n}로 해결합니다. 이 섹션에서는 또한 미분 방정식을 해결하는 데 도움이 되는 대체를 사용하는 아이디어를 소개합니다. 7 단계 : 원래 방정식에 대한 해결책을 찾기 위해 y = uv로 대체하십시오. 그리고 방정식은 ODE $N (x,y)y`+ M (x,y) = 0$는 $frac{부분 N}=frac{부분 M}==frac{부분 M}=$xy$-평면의 영역에서 정확한 방정식을 얻기 위해 양측을 통합하여 해결할 수 있습니다. $frac{부분 H}{부분 x}= M$ 및 $frac{부분 H}{부분 Y}=N$를 $H 함수를 찾을 수 있는 경우, $H(x,y)$는 ODE및 $H(x,y) = C$가 원래 ODE의 일반적인 솔루션입니다. 또한 지금까지 보았듯이 미분 방정식에는 일반적으로 무한한 수의 솔루션이 있습니다. 이상적으로는 항상 그렇지는 않지만 해당 초기 값 문제에는 하나의 솔루션만 있는 것이 아닙니다. 알 수 없는 상수가 남아 있지 않은 솔루션을 특정 솔루션이라고 합니다. Ex 17.1.15 방사성 물질은 방정식 $dot{y} =ky$에 순종하며 여기서 $k0$입니다. 질량의 절반은 몇 시에 남아 있습니까? (이것은 반감기로 알려져 있습니다.

반감기는 $k $에 따라 달라 집니다 하지만 $M$)에. (답변) 종종 분리할 수 있는 ODE도 선형도 없는 1차 ODE는 변수를 변경하여 이러한 유형 중 하나로 단순화할 수 있습니다. 다음은 몇 가지 중요한 예입니다: 정의 17.1.4 첫 번째 순서 초기 값 문제는 양식 $F 방정식 의 시스템입니다 (t, y, dot{y})=0$, $y (t_0)=y_0$. 여기서 $t_0 $은 고정 된 시간이며 $y_0 $는 숫자입니다. 초기 값 문제의 해결 방법은 초기 조건 $f(t_0) = y_0$을 만족시키는 미분 방정식의 $f(t)$의 솔루션입니다. Ex 17.1.1 다음 방정식 중 어떤 방정식이 분리될 수 있습니까? 두 방정식 모두 표준 형식의 선형 방정식이며 P(x) = -4/x입니다. 아마도 당신을 도울 수있는 또 다른 예 때문에? 어쩌면 조금 더 어렵다? 정의 17.1.8 첫 번째 차분 방정식은 $dot{y} = f(t) g(y)$형식으로 작성할 수 있는 경우 분리할 수 있습니다. 유효성 간격 – 이 섹션에서는 유효성 의 간격뿐만 아니라 첫 번째 순서 미분 방정식에 대한 존재와 고유성 질문에 대한 답변을 심층적으로 살펴볼 것입니다. 이러한 곡선의 의미는 무엇입니까? 그들은 방정식 dy dx에 대한 솔루션입니다 – y x = 1 실시 예 17.1.7 미분 방정식을 해결 $ds도트 y = 2t (25-y)$. 이는 이전 예제와 거의 동일합니다.

이전과 마찬가지로 $y(t)=25$가 해결책입니다. $ynot=25$인 경우, $$eqalign{ int {1over 25-y},dy & = int 2t, dtcr (-1)ln|25-y| & = t^2+C_0cr ln|25 -y| & -t^2 – C_0 = -t^2 + Ccr |25-y| &=e^{-t^2+C==e^{-t^2} e^CCr y-25 및 = pm , e^C e^{-t^2} cr y & = 25 pm e^C e^{-t^2} =25+Ae^{-t^2}.cr}$$$로 이전과 같이 모든 솔루션은 $ds y=25+Ae^{{-t^2}로 표시되어 $A 0이 될 수 있습니다.